Un primo esempio di calcolo della traiettoria di un razzo – Parte I

Verso un modello semplificato dell’ascesa di un razzo un pò più preciso: le tre fasi verso la LEO (Low Earth Orbit)

Nel grafico seguente, ho differenziato le tre fasi dell’ascesa di un razzo verso la Low Earth Orbit (LEO):

• Fase 1: Accelerazione
  Rappresenta l’accelerazione iniziale del razzo. Qui, l’altitudine aumenta rapidamente a causa della forte spinta iniziale.
  
• Fase 2: Transizione
  Questa fase mostra una transizione più graduale verso l’altitudine finale. L’incremento dell’altitudine rallenta man mano che il razzo supera la parte più densa dell’atmosfera e la resistenza diminuisce.
  
• Fase 3: Stabilizzazione in LEO
  Il razzo ha raggiunto l’altitudine di operazione nella LEO (200 km, indicata dalla linea blu tratteggiata) e procede con un volo orbitale stabile.

Questo modello semplificato illustra visivamente come un razzo possa passare da un’accelerazione iniziale intensa a una fase di stabilizzazione in orbita, raggiungendo l’altitudine desiderata per la LEO.

Questo modello semplificato illustra visivamente come un razzo possa passare da un’accelerazione iniziale intensa a una fase di stabilizzazione in orbita, raggiungendo l’altitudine desiderata per la LEO.

Per modellare l’ascesa di un razzo verso la Low Earth Orbit (LEO) in tre fasi distinte, ho utilizzato diverse funzioni per ciascuna fase, cercando di rappresentare semplificatamente l’accelerazione, la transizione, e la stabilizzazione.

Ecco le funzioni utilizzate e le loro derivate per ogni fase:

Fase 1: Accelerazione

• Funzione: y = 40(1 - e^{-\frac{x}{3}})
• Derivata: La derivata di questa funzione rispetto a (x) si ottiene derivando l’espressione data. La derivata di e^{-\frac{x}{3}} rispetto a x è -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}, quindi la derivata della funzione è:
  y' = 40 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)(-e^{-\frac{x}{3}}) = \frac{40}{3}e^{-\frac{x}{3}}
  

Fase 2: Transizione

• Funzione: y = 40 + (160 - 40) \frac{(x - 5)}{5}), che è essenzialmente una funzione lineare che va da 40 a 160 km nel periodo di tempo da 5 a 10 minuti.
• Derivata: Essendo una funzione lineare della forma (y = mx + b), la sua derivata è semplicemente il coefficiente angolare (m). In questo caso, m = \frac{160 - 40}{5} = 24, quindi la derivata è costante: y' = 24
  

Fase 3: Stabilizzazione in LEO

• Funzione: y = 200, che rappresenta l’altitudine costante della LEO.
• Derivata: La derivata di una costante è sempre zero, quindi: y' = 0
  

Queste funzioni e le loro derivati rappresentano un modello molto semplificato di come un razzo potrebbe accelerare verso l’orbita, attraversare una fase di transizione mentre si adatta per l’ingresso in orbita, e infine stabilizzarsi a un’altitudine costante nella LEO. Le derivati forniscono un’idea del tasso di cambio dell’altitudine rispetto al tempo in ciascuna fase: una decrescita esponenziale dell’accelerazione nella fase 1, un aumento costante nella fase 2, e nessun cambiamento nella fase 3.

Se y rappresenta l’altitudine espressa in chilometri km e la variabile indipendente x rappresenta il tempo espressa in minuti (min), allora la derivata di y rispetto a x, y', rappresenta il tasso di cambiamento dell’altitudine rispetto al tempo. In termini di unità di misura, la derivata si esprimerebbe quindi in chilometri al minuto (km/min).

Pagina Successiva | Pagina Precedente