Un primo esempio di calcolo della traiettoria di un razzo – Parte I

In questo articolo vedremo degli esempi di calcolo di una traiettoria di un razzo. Questi, sono frutto di alcune considerazioni e assunzioni che nulla hanno a che vedere con il calcolo vero e proprio delle traiettorie reali di un razzo; Per quest’ultime si utilizzano dei software di simulazione e di calcolo assai più complessi. Iniziamo con un esempio assurdo in cui si assume che la traiettoria di un razzo sia descritta da una funzione logaritmica naturale.

Calcolo semplificato di una traiettoria di un razzo

Come indicato, procediamo con l’esempio, considerando che (x) rappresenti il tempo (in secondi, ad esempio) e che la base del logaritmo b sia (e) (la base dei logaritmi naturali), rendendo la nostra funzione una funzione logaritmica naturale. La funzione che descrive la traiettoria del razzo potrebbe essere, per semplicità, y = \ln(x), dove y potrebbe rappresentare l’altitudine del razzo in chilometri.

Calcoliamo la derivata di y = \ln(x) rispetto a x, per capire come l’altitudine del razzo cambia nel tempo:

y' = \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}

Questa derivata indica che il tasso di cambiamento dell’altitudine del razzo rispetto al tempo diminuisce all’aumentare del tempo stesso. In altre parole, inizialmente, l’altitudine aumenta più rapidamente rispetto a momenti successivi.

Facciamo un calcolo specifico per x = 10 secondi e x = 20 secondi, per vedere come il tasso di cambiamento dell’altitudine varia in questi due istanti:

1. Per x = 10 secondi:
   
   y'(10) = \frac{1}{10} = 0.1
   
   Questo significa che, al tempo t = 10 secondi, l’altitudine del razzo aumenta di 0.1 km per ogni secondo aggiuntivo.
   
2. Per x = 20 secondi:
   
   y'(20) = \frac{1}{20} = 0.05
   
   Al tempo t = 20 secondi, l’altitudine del razzo aumenta di 0.05 km per ogni secondo aggiuntivo, indicando un aumento meno rapido dell’altitudine rispetto a t = 10 secondi.

Questi calcoli dimostrano che, man mano che il tempo passa, il tasso di aumento dell’altitudine del razzo diminuisce. All’inizio, quando il razzo si sta appena sollevando da terra, l’altitudine aumenta più rapidamente. Man mano che il razzo si allontana dalla superficie terrestre e il tempo passa, l’incremento dell’altitudine per unità di tempo rallenta. Questo comportamento è tipico per certi profili di missione, dove l’accelerazione e l’aumento di altitudine non sono lineari ma seguono piuttosto una curva logaritmica in relazione al tempo.

Assolutamente, chiamare la derivata della funzione logaritmica che descrive l’altitudine in funzione del tempo come “incremento dello spazio per unità di tempo” è un modo perfettamente valido e chiaro per interpretare questo concetto nel contesto della fisica e dell’ingegneria aerospaziale. Infatti, in termini più tecnici, ciò che stiamo discutendo è essenzialmente la velocità istantanea del razzo in direzione verticale.

Nell’esempio precedente, con una funzione logaritmica naturale y = \ln(x), la derivata y' = \frac{1}{x} rappresenta l’incremento dello spazio percorso (in questo caso, l’altitudine guadagnata) per unità di tempo (secondi, nel nostro esempio).

Quindi, quando abbiamo calcolato y'(10) = 0.1 e y'(20) = 0.05, stavamo effettivamente determinando la velocità verticale del razzo in quei momenti specifici, misurata in km/s. Questo ci dice quanto rapidamente il razzo sta guadagnando altitudine in quei precisi istanti di tempo, fornendo informazioni cruciali su come ottimizzare il percorso del razzo per raggiungere l’orbita desiderata nel modo più efficiente possibile.

Pagina Successiva